💻 Ejercicios Prácticos de Análisis Numérico
1.1. Ecuación de segundo grado (Ax^{2}+Bx+C=0)
Enunciado: Hallar las raíces de la ecuación Ax^2 + Bx + C para cualquier valor de los coeficientes.
Introducir los coeficientes: Ax^{2} + Bx + C
x2 +/- x +/-
Resultado:
1.2. Calculadora de Números Complejos (a + bi)
Realiza todas las operaciones unarias y binarias.
Complejo 1: i
Complejo 2: i
Operaciones unarias (Z1)
Resultado:
Operaciones binarias (Z1 y Z2)
Resultado:
1.3. Interpolación de Lagrange (Función de Runge)
Comparación de la interpolación con parametrización uniforme vs. Chebyshev.
Función de Runge (Azul) vs. Polinomio P(x) (Rojo)
Seleccione el número de puntos y el tipo de parametrización para comenzar.
📚 Información Teórica sobre las Funciones
Presentación y Contenido
Soy Carmen Fernández Revuelta y en esta página web, como ya habéis podido comprobar, aparecen distintos ejercicios que he codificado desde Java.
Ahora os explicaré un poco qué es lo que nos aporta cada ejercicio:
Función de Runge (Interpolación)
Los gráficos muestran la interpolación de Lagrange para la función de Runge, caracterizada por ser suave, pero difícil de interpolar uniformemente en un rango amplio. Esta función se define como:
$$f(x) = \frac{1}{1 + 25x^2}$$
Se utiliza para demostrar el Fenómeno de Runge, donde la interpolación polinomial con nodos uniformemente espaciados diverge en los bordes del intervalo, especialmente al aumentar el número de puntos (n).
Interpolación de Lagrange
El polinomio de Lagrange P(x) es el polinomio de grado más bajo que pasa por un conjunto dado de puntos n+1 puntos (x_i, y_i). Se construye como:
$$P(x) = \sum_{j=0}^{n} y_j L_j(x)$$
Donde L_j(x) son los polinomios base de Lagrange, definidos como:
$$L_j(x) = \prod_{i=0, i \neq j}^{n} \frac{x - x_i}{x_j - x_i}$$
Nodos de Chebyshev
Para mitigar el fenómeno de Runge, se utilizan nodos espaciados de forma no uniforme (Chebyshev) en lugar de nodos uniformes. Estos nodos se distribuyen de manera más densa cerca de los extremos del intervalo [-1, 1]. La fórmula es:
$$x_i = \cos\left(\frac{2i+1}{2(n+1)}\pi\right), \quad i=0, \dots, n$$
❓ Ayuda y Uso de la Aplicación
Uso de la Calculadora Compleja
La calculadora maneja números complejos de la forma z = a + bi.
- Operaciones Unarias (Z1): Ingrese la parte real (a) y la parte imaginaria (b) del primer complejo (Z1). Presione el botón de operaciones unarias.
- Operaciones Binarias (Z1 y Z2): Ingrese Z1 y el segundo complejo (Z2). Presione el botón de operaciones binarias para ver la suma, resta, multiplicación, división y potencia Z1^{Z2}.
Uso de los Gráficos de Lagrange
El propósito de esta sección es comparar la calidad de la interpolación de Lagrange con dos conjuntos diferentes de nodos para la función de Runge f(x)=1/(1+25x^2) en el intervalo [-1, 1].
- Número de Puntos (N): Ingrese un valor entero (N \geq 2) en el campo de texto. $N$ es el número de puntos de interpolación.
- Generar Gráfico: Haga clic en el botón para regenerar ambas gráficas:
- Gráfico Izquierdo: Interpolación con nodos uniformemente espaciados.
- Gráfico Derecho: Interpolación con nodos de Chebyshev.
- Observación: Note cómo la interpolación de Chebyshev mantiene la precisión en los extremos del intervalo, mientras que la interpolación uniforme diverge (fenómeno de Runge).
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